Question

9．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F．设CM=x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式y=-$\frac{1}{2}$x²+x．

Answer 1

分析 在BC上截取CH=CM，连接MH，则△MCH是等腰直角三角形，BH=MD，证出∠BHM=∠MDF，∠1=∠2，由ASA证明△BHM≌△MDF，再根据三角形面积公式求解即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠C=∠CDA=90°=∠ADE，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADE=45°，
∴∠MDF=90°+45°=135°．
在BC上截取CH=CM，连接MH，如图，则△MCH是等腰直角三角形，BH=MD，
∴∠CHM=∠CMH=45°，
∴∠BHM=135°，
∴∠1+∠HMB=45°，∠BHM=∠MDF，
∵FM⊥BM，
∴∠FMB=90°，
∴∠2+∠BMH=45°，
∴∠1=∠2．
在△BHM与△MDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BH=MD}\\{∠BHM=∠MDF}\end{array}\right.$，
∴△BHM≌△MDF（ASA），
∴BH=MD=2-x，
∴y与x之间的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x（2-x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
故答案为：y=-$\frac{1}{2}$x²+x．

点评 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．