Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，OD⊥BC于点D，AM⊥BC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N．
（1）求证：AN=BD；
（2）填空：点P是⊙O上的一个动点，
①若AB=4，连结OC，则PC的最大值是2$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$；
②当∠BOP=45°或135°时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接ON．只要证明四边形ODMN是正方形即可解决问题．
（2）①如图2中，连接OC、PC．由PC≤OC+OP，推出当点P在CO的延长线时，P、O、C共线时，PC的值最大，最大值为OC+OP．
②当OB为对角线时，OP∥BD，可得∠BOP=∠ABC=45°，当OB为边时，OP′∥BC，可得∠BOP′=180°-∠ABC=135°．

解答 （1）证明：如图1中，连接ON．

∵AM是⊙O的切线，
∴ON⊥AM，
∵OD⊥BC，AM⊥BC，
∴∠ODM=∠ONM=∠DMN=90°，
∴四边形ODMN是矩形，
∵OD=ON，
∴四边形ODMN是正方形，
∴OD=ON=DM=MN，
∵OA=OB，OD∥AM，ON∥BM，
∴BD=DM，AN=MN，
∴BD=AN；

（2）①如图2中，连接OC、PC．

∵PC≤OC+OP，
∴当点P在CO的延长线时，P、O、C共线时，PC的值最大，最大值为OC+OP．
由（1）可知，BM=AM，∠AMB=90°，
∴∠B=45°，
∵AB=AC=4，
∴△ABC是等腰直角三角形，BM=AM=MC=2$\sqrt{2}$，OP=OD=BD=DM=$\sqrt{2}$，
∴OA=2，OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴PC的最大值为2$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$；

②如图3中，

由题意以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形
当OB为对角线时，OP∥BD，可得∠BOP=∠ABC=45°，
当OB为边时，OP′∥BC，可得∠BOP′=180°-∠ABC=135°．
综上所述，当∠POB=45°或135°时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形；

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，本题的突破点是证明四边形ODMN是正方形，属于中考压轴题．