题目内容
4．
如图，在△OAB中，OA=OB，以点O为圆心的⊙O经过AB的中点C，直线AO与⊙O相交于点E、D，OB交⊙O于点F，P是$\widehat{DF}$的中点，连接CE、CF、BP．（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）若OA=4，则
①当$\widehat{DP}$长为$\frac{π}{3}$时，四边形OECF是菱形；
②当$\widehat{DP}$长为$\frac{\sqrt{2}π}{2}$时，四边形OCBP是正方形．
分析 （1）由等腰三角形三线合一的性质可知OC⊥AB，依据题意可知OC为⊙O的半径，故此可证明AB是⊙O的切线；
（2）①由菱形的性质可知：OE=EC，∠EOC=∠COF，然后证明△OEC为等边三角形可得到∠EOC的度数，然后可求得∠DOP的度数，接下来，在△OAC中，利用特殊锐角三角函数值可求得OC的长，最后依据弧长公式求解即可；②依据正方形的性质可求得OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠POF=45°，然后可得到∠DOP的度数，最后依据弧长公式求解即可．
解答 解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，C是AB的中点，
∴OC⊥AB．
∵OC为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）①∵OECF为菱形，
∴OE=EC，∠EOC=∠COF．
∴OE=EC=OC．
∴∠EOC=∠COF=60°．
∴∠DOF=60°．
又∵P为弧DF的中点，
∴∠DOP=30°．
∵∠AOC=60°，∠OCA=90°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=2．
∴弧DP的长=$\frac{30π×2}{180}$=$\frac{π}{3}$．
②∵四边形OCBP为正方形，
∴∠COB=∠POB=45°．
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=2$\sqrt{2}$．
∵P为弧DF的中点，
∴∠DOP=45°．
∴弧DP的长=$\frac{45π×2\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}π}{2}$．
故答案为：①$\frac{π}{3}$；②$\frac{\sqrt{2}π}{2}$．
点评 本题主要考查的是切线的判定和性质、菱形的性质、正方形的性质、特殊锐角三角函数、等边三角形的性质和判定、弧长的计算，求得∠DOP的度数是解题的关键．
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16．
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