题目内容

18．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，写出点的坐标：C（6，2）、D（2，0）；
②⊙D的半径为2$\sqrt{5}$（结果保留根号）；
③若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．

分析 （1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D，连接AD，CD；
（2）①根据第一问画出的图形即可得出C及D的坐标；
②在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；
③求出∠ADC的度数，得弧ADC的周长，求出圆锥的底面半径即可；
④直线CE与圆O的位置关系是相切，理由为：由圆的半径得出DC的长，在直角三角形CEF中，由CF及FE的长，利用勾股定理求出CE的长，再由DE的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形DCE为直角三角形，即EC垂直于DC，可得出直线CE为圆O的切线．

解答 解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：

（2）①根据图形得：C（6，2），D（2，0）；
②在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，
根据勾股定理得：AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
则⊙D的半径为2$\sqrt{5}$；
③AC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，CD=2$\sqrt{5}$，
AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°．
扇形ADC的弧长=$\frac{90π×2\sqrt{5}}{180}$=$\sqrt{5}$π，
圆锥的底面的半径=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
④直线EC与⊙D的位置关系为相切，理由为：
在Rt△CEF中，CF=2，EF=1，
根据勾股定理得：CE=$\sqrt{C{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在△CDE中，CD=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{5}$，DE=5，
∵CE2+CD2=（$\sqrt{5}$）2+（2$\sqrt{5}$）2=5+20=25，DE2=25，
∴CE2+CD2=DE2，
∴△CDE为直角三角形，即∠DCE=90°，
∴CE⊥DC，
则CE与圆D相切．
故答案为：①（6，2）；（2，0）；②2$\sqrt{5}$；③$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，切线的判定，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．

练习册系列答案
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6．【提出问题】如图①，在四边形ABCD中，点E、F是AD的n等分点中最中间2个，点G、H是BC的n等分点中最中间2个，（其中n为奇数），连接EG、FH，那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢？
【探究发现】：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
如图②：四边形ABCD中，点E、F是AD的3等分点，点G、H是BC的3等分点，连接EG、FH，那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢？
如图③，连接EH、BE、DH，
因为△EGH与△EBH高相等，底的比是1：2，
所以S△EGH=$\frac{1}{2}$S△EBH
因为△EFH与△DEH高相等，底的比是1：2，
所以S△EFH=$\frac{1}{2}$S△DEH
所以S△EGH+S△EFH=$\frac{1}{2}$S△EBH+$\frac{1}{2}$S△DEH
即S四边形EFHG=$\frac{1}{2}$S四边形EBH
连接BD，
因为△DBE与△ABD高相等，底的比是2：3，
所以S△DBE=$\frac{2}{3}$S△ABD
因为△BDH与△BCD高相等，底的比是2：3，
所以S△BDH=$\frac{2}{3}$S△BCD
所以S△DBE+S△BDH=$\frac{2}{3}$S△ABD+$\frac{2}{3}$S△BCD=$\frac{2}{3}$（S△ABD+S△BCD）=$\frac{2}{3}$S四边形ABCD
即S四边形EBHD=$\frac{2}{3}$S四边形ABCD
所以S四边形EFHG=$\frac{1}{2}$S四边形EBHD=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$S四边形ABCD=$\frac{1}{3}$S四边形ABCD
（1）如图④：四边形ABCD中，点E、F是AD的5等分点中最中间2个，点G、H是BC的5等分点中最中间2个，连接EG、FH，猜想：S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢S四边形EFHG=$\frac{1}{5}$S四边形ABCD，验证你的猜想：
【问题解决】如图①，在四边形ABCD中，点E、F是AD的n等分点中最中间2个，点G、H是BC的n等分点中最中间2个，连接EG、FH，（其中n为奇数）那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间的关系为：S四边形EFHG=$\frac{1}{n}$S四边形ABCD（不必写出求解过程）
【问题拓展】仿照上面的探究思路，若n为奇数，请再给出一个一般性结论．（画出图形，不必写出求解过程）
13．问题情境
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握手图标握手人数握手次数
21
33=1+2
46=1+2+3
510=1+2+3+4
………
…NP=1+2+3+…+（n+1）
因此，n个人握手总次为P=1+2+3…+（n+1）=$\frac{n（n-1）}{2}$
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班上41位同学彼此握手为礼，他们共握手多少次？小聪同学说的对不对？
问题拓展
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图标直线条数交点个数
21
33=1+2
4
5
………
…n
因此，平面内n条直线最多交点的个数为$\frac{{n（{n-1}）}}{2}$．
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