题目内容

6．【提出问题】如图①，在四边形ABCD中，点E、F是AD的n等分点中最中间2个，点G、H是BC的n等分点中最中间2个，（其中n为奇数），连接EG、FH，那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢？
【探究发现】：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
如图②：四边形ABCD中，点E、F是AD的3等分点，点G、H是BC的3等分点，连接EG、FH，那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢？
如图③，连接EH、BE、DH，
因为△EGH与△EBH高相等，底的比是1：2，
所以S△EGH=$\frac{1}{2}$S△EBH
因为△EFH与△DEH高相等，底的比是1：2，
所以S△EFH=$\frac{1}{2}$S△DEH
所以S△EGH+S△EFH=$\frac{1}{2}$S△EBH+$\frac{1}{2}$S△DEH
即S四边形EFHG=$\frac{1}{2}$S四边形EBH
连接BD，
因为△DBE与△ABD高相等，底的比是2：3，
所以S△DBE=$\frac{2}{3}$S△ABD
因为△BDH与△BCD高相等，底的比是2：3，
所以S△BDH=$\frac{2}{3}$S△BCD
所以S△DBE+S△BDH=$\frac{2}{3}$S△ABD+$\frac{2}{3}$S△BCD=$\frac{2}{3}$（S△ABD+S△BCD）=$\frac{2}{3}$S四边形ABCD
即S四边形EBHD=$\frac{2}{3}$S四边形ABCD
所以S四边形EFHG=$\frac{1}{2}$S四边形EBHD=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$S四边形ABCD=$\frac{1}{3}$S四边形ABCD
（1）如图④：四边形ABCD中，点E、F是AD的5等分点中最中间2个，点G、H是BC的5等分点中最中间2个，连接EG、FH，猜想：S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢S四边形EFHG=$\frac{1}{5}$S四边形ABCD，验证你的猜想：
【问题解决】如图①，在四边形ABCD中，点E、F是AD的n等分点中最中间2个，点G、H是BC的n等分点中最中间2个，连接EG、FH，（其中n为奇数）那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间的关系为：S四边形EFHG=$\frac{1}{n}$S四边形ABCD（不必写出求解过程）
【问题拓展】仿照上面的探究思路，若n为奇数，请再给出一个一般性结论．（画出图形，不必写出求解过程）

分析 （1）与探究发现中的解法相同，利用三角形的面积公式，求得四边形EFGH和四边形EBHD的面积的关系，然后确定△ABE的面积和△CDH的面积的和与△ABD和△BCD面积之间的关系，即可求解；
问题解决：解法与（1）和探究发现完全相同；
问题拓展：可以得到四边形EGHF和四边形EBHD面积之间的关系．答案不唯一．

解答 解：（1）四边形ABCD中，点E、F是AD的5等分点中最中间2个，点G、H是BC的5等分点中最中间2个，
连接EG、FH，S四边形EFHG=$\frac{1}{5}$S四边形ABCD，理由如下：
证明：如图④：连接EH、BE、DH，

∵△EGH与△EBH高相等，底的比是1：3，
∴S△EGH=$\frac{1}{3}$S△EBH，
∵△EFH与△DEH高相等，底的比是1：3，
∴S△EFH=$\frac{1}{3}$S△DEH，
∴S△EGH+S△EFH=$\frac{1}{3}$S△EBH+$\frac{1}{3}$S△DEH，即S四边形EFHG=$\frac{1}{3}$S四边形EBHD，
连接BD，
∵△DBE与△ABD高相等，底的比是3：5，
∴S△DBE=$\frac{3}{5}$S△ABD，
∵△BDH与△BCD高相等，底的比是3：5，
∴S△BDH=$\frac{3}{5}$S△BCD，
∴S△DBE +S△BDH=$\frac{3}{5}$S△ABD+$\frac{3}{5}$S△BCD =$\frac{3}{5}$（S△ABD+S△BCD）=$\frac{3}{5}$S四边形ABCD，即S四边形EBHD=$\frac{3}{5}$S四边形ABCD，
则S四边形EFHG=$\frac{1}{3}$S四边形EBHD=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$S四边形ABCD=$\frac{1}{5}$S四边形ABCD；
问题解决：在四边形ABCD中，点E、F是AD的n等分点中最中间2个，点G、H是BC的n等分点中最中间2个，
连接EG、FH（其中n为奇数），那么S四边形EFHG=$\frac{1}{n}$S四边形ABCD；
问题拓展：S四边形EGHF=$\frac{1}{n-1}$S四边形EBHD．
故答案为：（1）S四边形EFHG=$\frac{1}{5}$S四边形ABCD；（2）S四边形EFHG=$\frac{1}{n}$S四边形ABCD

点评 本题是四边形与三角形的面积的综合题，正确理解三角形面积公式，读懂已知条件中的例子是解决本题的关键．

练习册系列答案
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探究：
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