Question

10．如图，AD是⊙O的直径．
（1）如图1，垂直于AD的两条弦B₁C₁，B₂C₂把圆周4等分，则∠B₁的度数是22.5°，∠B₂的度数是67.5°；
（2）如图2，垂直于AD的三条弦B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃把圆周6等分，则∠B₃的度数是75°；
（3）如图3，垂直于AD的n条弦B₁C₁，B₂C₂，B₃ C₃，…，B_nC_n把圆周2n等分，则∠B_n的度数是90°-$\frac{45°}{n}$（用含n的代数式表示∠B_n的度数）．

Answer 1

分析 （1）求出每条弧的度数，求出所求的圆周角所对的弧的度数，最后根据圆周角定理（圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半）得出即可；
（2）求出每条弧的度数，求出所求的圆周角所对的弧的度数，最后根据圆周角定理（圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半）得出即可；
（3）求出每条弧的度数，求出所求的圆周角所对的弧的度数，最后根据圆周角定理（圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半）得出即可．

解答 解：（1）∵垂直于AD的两条弦B₁C₁，B₂C₂把圆周4等分，
∴弧B₁C₁、弧C₁C₂、弧B₂C₂、弧B₁B₂的度数都是90°，弧AB₁=弧AC₁，
∴弧AC₁的度数是45°，
∴∠B₁=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∠B₂=$\frac{1}{2}$×（45°+90°）=67.5°，
故答案为：22.5°，67.5°；

（2）∵垂直于AD的三条弦B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃把圆周6等分
∴弧B₁C₁、弧C₁C₂、弧C₂C₃的度数都是60°，弧AB₁=弧AC₁，
∴弧AC₁的度数是30°，
∴∠B₃=$\frac{1}{2}$×（30°+60°+60°）=75°，
故答案为：75°；

（3）∵垂直于AD的n条弦B₁C₁，B₂C₂，B₃ C₃，…，B_nC_n把圆周2n等分，
∴弧B₁C₁、弧C₁C₂、弧C₂C₃、…的度数都是（$\frac{360}{2n}$）°=（$\frac{180}{n}$）°，弧AB₁=弧AC₁，
∴弧AC₁的度数是（$\frac{90}{n}$）°，
∴∠Bn=$\frac{1}{2}$×（$\frac{90}{n}$+$\frac{180}{n}$+$\frac{180}{n}$+…+$\frac{90}{n}$）=$\frac{1}{2}$×[$\frac{（n-1）•180}{n}$+$\frac{90}{n}$]°=90°-$\frac{45°}{n}$
故答案为：90°-$\frac{45°}{n}$．

点评 本题考查了圆周角定理的应用，能正确运用定理进行计算是解此题的关键，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数，圆周角等于它所夹弧所对的圆心角的一半，难度适中．