Question

8．如图，正方形ABCD中，点P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于点N，点M为垂足，交两边于点E、F，连接PN，则下列结论，其中正确的有（　　）
①∠DNP=∠DAP；
②PC=$\sqrt{2}$BN；
③$\frac{DP+DC}{DN}$为常数；
④MN=MF+NE．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①正确；过N作ST‖BC分别交AB、DC于S、T，则ST⊥AB，先证明△BSN是等腰直角三角形，得出SA=TN，再由AN=PN，证明Rt△ASN≌Rt△NTP，得出∠SAN=∠TNP，证出∠ANP=90°，得出∠PAN=45°，∠DAP=45°-∠SAN，再由∠DNT=∠BNS=45°，得出∠DNP=45°-∠TNP，即可得出∠DNP=∠DAP；
②正确；PC=PT+TC=SN+SB，△BSN是等腰直角三角形，SB=SN，即可得出PC=SN+SB=$\sqrt{2}$BN；
③正确；设正方形ABCD的边长为a，得出DP+DC=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$a-BN），DN=BD-BN═$\sqrt{2}$a-BN，即可得出结论；
④正确；过P作AD的平行线交MN于K，证出MF=MK，NE=NK，即可得出结论．

解答 解：①正确；过N作ST‖BC分别交AB、DC于S、T，如图所示：
则ST⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=ST，∠BAD=90°，∠ABD=45°，
∴△BSN是等腰直角三角形，
∴SB=SN，∠BNS=45°，
∴SA=TN，
∵线段AP的垂直平分线MN交BD于点N，
∴AN=PN，
在△RtASN和Rt△NTP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=PN}&{\;}\\{SA=TN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△ASN≌Rt△NTP（HL），
∴∠SAN=∠TNP，
∵∠SAN+∠ANS=90°，
∴∠TNP+∠ANS=90°，
∴∠ANP=90°，
∴∠PAN=45°，
∴∠SAN+∠DAP=45°，
∴∠DAP=45°-∠SAN，
∵∠DNT=∠BNS=45°，
∴∠DNP=∠DNT-∠PNT=45°-∠TNP，
∴∠DNP=∠DAP；
②正确；由①得：PC=PT+TC=SN+SB，△BSN是等腰直角三角形，SB=SN，
∴PC=SN+SB=$\sqrt{2}$BN；
③正确；设正方形ABCD的边长为a，
则DP+DC=2a-PC=2a-$\sqrt{2}$BN=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$a-BN），
DN=BD-BN═$\sqrt{2}$a-BN，
∴$\frac{DP+DC}{DN}$=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{2}a-BN）}{\sqrt{2}a-BN}$=$\sqrt{2}$；
④正确；过P作AD的平行线交MN于K，如图所示：
∵AM=PM，
∴MF=MK，
由①得：PT=SN=SB=CT，TN∥BC∥PK，
∴NE=NK，
∴MN=MF+NE；
综上所述：正确的结论有4个．
故选：D．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等、等腰直角三角形以及中点才能得出结论．