Question

3．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AE是∠BAC的平分线交BC于点E，以AC上一点O为圆心作圆，使⊙O经过A，E两点，⊙O交AC于点F，
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=3，∠BAC=60°，试求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由角平分线的性质得到∠BAE=∠CAE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠AEO，等量代换得到∠BAE=∠AEO，根据平行线的性质得到∠OEC=90°，于是得到结论；
（2）解直角三角形得到OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=2，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OE，
∵AE是∠BAC的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=∠CAE，
∵OA=OE，
∴∠CAE=∠AEO，
∴∠BAE=∠AEO，
∴AB∥OE，
∵在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠OEC=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠BAC=60°，
∴∠EOC=60°，
∵AB=3，
∴BE=$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∵∠EAC=∠ACE=30°，
∴CE=AE=2$\sqrt{3}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=2，
∴S_阴影=S_△OEC-S_扇形=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．