Question

18．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为CD，AD上的点，点B′、C′分别为边BC、AB上的点，B′E⊥CF于P，连接AP、BP，∠APB=90°．
（1）求证：∠FB′C′=90°．
（2）用尺规图法作出正方形ABCD边上的所有Q点，使∠FQC′=90°．

Answer 1

分析 （1）先依据同角的余角相等可证明∠FPA=∠BPB′，然后依据四边形的内角和为360°可证明∠PFA=∠PB′B，从而可得到∠FAP=∠PBB′，然后可证明∠PAB+∠PBA=90°；
（2）由∠FQC=90°，可知符合条件的点Q在以FC′为直径的圆上，故此可知点Q为以FC′为直径的圆与正方形的交点．

解答 解：（1）连结FB′、C′B′．

∵∠FPA+∠APB′=90°，∠APB′+∠B′PB=90°，
∴∠FPA=∠B′PB．
∵∠FPB′=90°，∠FAB′=90°，
∴∠PFA+∠PB′A=90°．
∴∠PFA=∠PB′B．
∴∠PAF=∠PBB′．
∵∠FAP+∠PAB′=90°，
∴∠PAB′+∠PBB′=90°．
∴∠APB=90°．
（2）如图所示：以FC′为直径作⊙O，点Q的位置如图所示．

点评 本题考查了作图-复杂作图，正方形的性质，解答本题主要应用了圆周角定理、正方形的性质，利用圆周角定理确定出点Q的坐标是解题的关键．