Question

15．如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O点．
（1）若∠A=40°，则∠BOC=110°；
（2）若∠A=n°，则∠BOC=90+$\frac{n}{2}$°；
（3）若∠A=n°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O点，∠ABO的平分线与∠ACO的平分线交于点O₁，…，∠ABO₂₀₁₆的平分线与∠ACO₂₀₁₆的平分线交于点O₂₀₁₇，则∠O₂₀₁₇=$\frac{1}{{2}^{2018}}$×180°+$\frac{{2}^{2018}-1}{{2}^{2018}}$n°．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数故可得出结论；
（2）根据BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，用n°的代数式表示出∠OBC与∠OCB的和，再根据三角形的内角和定理求出∠BOC的度数；
（3）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=70°，
∴∠BOC=110°．
故答案为：110°；

（2）∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，
∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB
=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=$\frac{1}{2}$（180°-n°）
=90°-$\frac{1}{2}$n°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+$\frac{1}{2}$n°．
故答案为：90°+$\frac{1}{2}$n°；

（3）由（2）得∠O=90°+$\frac{1}{2}$n°，
∵∠ABO的平分线与∠ACO的平分线交于点O₁，
∴∠O₁BC=$\frac{3}{4}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{3}{4}$∠ACB，
∴∠O₁=180°-$\frac{3}{4}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{3}{4}$（180°-∠A）=$\frac{1}{4}$×180°+$\frac{3}{4}$n°，
同理，∠O₂=$\frac{1}{8}$×180°+$\frac{7}{8}$n°，
∴∠O_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$×180°+$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n+1}}$n°，
∴∠O₂₀₁₇=$\frac{1}{{2}^{2018}}$×180°+$\frac{{2}^{2018}-1}{{2}^{2018}}$n°，
故答案为：$\frac{1}{{2}^{2018}}$×180°+$\frac{{2}^{2018}-1}{{2}^{2018}}$n°．

点评 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°．