Question

16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．点D在线段PQ上，且PD=PC．
（1）求证：PQ∥AB；
（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）先用勾股定理求出AC，再用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，得出△PQC∽△BAC，从而有∠CPQ=∠B即可；
（2）先判断出AQ=DQ，再用勾股定理AQ，最后建立方程12-4x=2x，求解方程即可．

解答 （1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=12，
∵$\frac{PC}{BC}=\frac{3x}{9}=\frac{x}{3}$，$\frac{QC}{AC}=\frac{4x}{12}=\frac{x}{3}$，
∴$\frac{PC}{BC}=\frac{QC}{AC}$
∵∠C=∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ=∠B，
∴PQ∥AB；
（2）解：如图，

连接AD，
∵PQ∥AB，
∴∠ADQ=∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ=∠DAB，
∴∠ADQ=∠DAQ，
∴AQ=DQ．
在Rt△CPQ中，PQ=5x，
∵PD=PC=3x，
∴DQ=2x．
∵AQ=12-4x，
∴12-4x=2x，
解得x=2，
∴CP=3x=6．

点评 此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了平行线的判定，勾股定理，角平分线的定义，解本题的关键是判断出PQ∥AB．