Question

6．已知：Rt△ABC的直角顶点C，另一顶点A及斜边AB的中点D都在⊙O上，BC交⊙O于E．
（1）如图1，若AC=CE，求∠B的度数；
（2）如图2，若AC=6，BC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，根据等腰直角三角形的性质得：∠CEA=45°，利用同弧所对的圆周角相等得：∠ADC=45°，运用外角定理得出∠B的度数；
（2）作辅助线，构建相似三角形，证明△BDE∽△BCA，列比例式求出DE的长，最后利用勾股定理求直径AE，则半径为$\frac{25}{8}$．

解答 解：（1）如图1，连接AE、DC，
∵∠ECA=90°，且E、C、A三点都在⊙O上，
∴AE是⊙O的直径，
∵EC=AC，
∴∠CEA=45°，
∵D是斜边AB的中点，
∴BD=DC，
∴∠B=∠BCD，
∵∠ADC=∠AEC=∠B+∠BCD=45°，
∴∠B=45°÷2=22.5°；
（2）如图2，连接DE、AE、CD，
由（1）得：AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠EBD=∠ABC，∠BDE=∠BCA=90°，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}$，
∵D是斜边AB的中点，
∴BD=AD，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴$\frac{DE}{6}=\frac{5}{8}$，
∴DE=$\frac{15}{4}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{25}{4}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{25}{8}$，
则⊙O的半径为$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了圆中的基本性质和直角三角形斜边中线的性质，①直径所对的圆周角是直角，反之，90°的圆周角所对的弦是直径，②同弧所对的圆周角相等，③直角三角形斜边中线是斜边的一半．