Question

7．平行四边形ABCD中，AB=10，AD=12，∠ABC=60°，E为边AD上一点，且AE=7，欲从平行四边形ABCD上剪下等腰△AEP（要求该等腰三角形的另一顶点P在平行四边形ABCD的一边上），请你求出等腰△AEP的面积．

Answer 1

分析 分三种情形讨论：①当点P₁在CD边上，EA=EP₁时，②当点P₁在BC边上，③当点P₃在AB边上分别求解即可．

解答 解：如图，①当点P₁在CD边上，EA=EP₁时，作P₁H⊥AD，EF⊥CD垂足分别为H、F，
在RT△DEF中，∵∠EFD=90°，∠D=60°DE=5，
∴DF=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{5}{2}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵AE=EP₁=7，
在RT△EFP₁中，P₁F=$\sqrt{E{{P}_{1}}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{11}{2}$，
∴DP₁=DF+P₁F=8，
∵$\frac{1}{2}$•DE•P₁H=$\frac{1}{2}$•DP₁•EF，
∴P₁H=4$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△AE{P}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•AE•P₁H=14$\sqrt{3}$．
②当点P₂在BC边上，P₂A=P₂E时，作P₂M⊥AD垂足为M，${S}_{△{P}_{2}AE}$=$\frac{1}{2}$•AE•P₂M=$\frac{1}{2}$×7×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{35\sqrt{3}}{2}$，
③当点P₃在AB边上，AE=AP₃时，作EN⊥BA于N.${S}_{△AE{P}_{3}}$=$\frac{1}{2}$AP₃•EN=$\frac{1}{2}$×7×7×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{49\sqrt{3}}{4}$，
综上所述当△PAE是等腰三角形时面积为14$\sqrt{3}$或$\frac{35\sqrt{3}}{2}$或$\frac{49\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识解题的关键是学会分类讨论的方法，不能漏解，所以中考常考题型．