Question

8．观察下列等式：
①1+6×1=4²-9×1²；
②1+6×2=7²-9×2²；
③1+6×3=10²-9×3²；
…
根据上述规律解集下列问题：
（1）完成第四个等式：1+6×4=13²-9×4²；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

Answer 1

分析 （1）等式左边随序号在变化的只有第二个因数，并且是每个等式的序号数；等式右边第一个幂的底数，它是序号的3倍加1，第二个幂的底数显然也是序号数．
（2）将左边第二个因数用n表示，那么右边第一个底数是（3n+1），第二个底数为n，可完整表示出第n个等式．

解答 解：（1）等式左边随序号在变化的只有第二个因数，并且是每个等式的序号数；
等式右边第一个幂的底数，它是序号的3倍加1，第二个幂的底数显然也是序号数．
所以第4个等式为：1+6×4=（3×4+1）²-9×4²，
即1+6×4=13²-9×4²；
答案为：4，13，4．
（2）第n个等式为：1+6n=（3n+1）²-9n²；
∵右边=（3n）²+2•（3n）•1+1-9n²
=9n²+6n+1-9n²
=6n+1=左边
∴1+6n=（3n+1）²-9n²成立．

点评 通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是看清没个等式在变化的数与等式序号间的关系．