Question

17．如图，在△BAD中，∠BAD=90°，延长斜边BD到点C，使DC=$\frac{1}{2}BD$，连接AC，若tanB=$\frac{5}{3}$，则tan∠CAD的值$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，设AD=5x，则AB=3x，再证出△CDE∽△BDA，得出$\frac{CE}{AB}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，设CE=$\frac{3}{2}$x，DE=$\frac{5}{2}$x，求出AE=$\frac{15}{2}$x，最后根据tan∠CAD=$\frac{EC}{AE}$代入计算即可．

解答 解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{5}{3}$，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=$\frac{3}{2}$x，DE=$\frac{5}{2}$x，
∴AE=$\frac{15}{2}$x，
∴tan∠CAD=$\frac{EC}{AE}$=$\frac{1}{5}$，
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．