题目内容
20．
操作与思考：操作：将长为1，宽为a的长方形纸片（$\frac{1}{2}$＜a＜1），如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）．如此反复操作下去，若在第n次操作后剩下的长方形是正方形，则操作终止．
思考：
（1）第一次操作后，剩下的长方形的边长分别为a、1-a．（用含a的式子表示）
（2）如果第二次操作后剩下的长方形恰好是正方形，则a的值是$\frac{2}{3}$．
分析 （1）根据所给的图形可以看出每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽，再根据长为1，宽为a的长方形即可得出剩下的长方形的长和宽；
（2）根据（1）得出的长方形两边长分别是1-a和2a-1，并且剩下的长方形恰好是正方形，即可求出a的值．
解答 解：（1）长为1，宽为a的长方形纸片（$\frac{1}{2}$＜a＜1），
第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a；
（2）第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1，
当剩下的长方形恰好是正方形时，即1-a=2a-1，
解得：a=$\frac{2}{3}$．
故答案为：a，1-a；$\frac{2}{3}$．
点评 此题考查图形的变化规律，理解操作的方法，求得剩下长方形的长和宽是解决问题的关键．
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