题目内容
19．
已知直线l1的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-2，且与x轴，y轴分别交于A、B两点，点C在y轴上，且点C的纵坐标为x2-7x-8=0中较大的解，直线l2过A、C两点．（1）求直线l2的解析式；
（2）若动点P在线段AC上，从C点出发，以每秒1个单位的速度，向点A运动，运动时间为t秒，连接BP，当S△ABP=20时，求过点P的反比例函数解析式；
（3）在（2）问中P点运动过程中，是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据解方程，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据面积的和差，可得P点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数解析式；
（3）分类讨论：当AP=PB时，当AB=AP时，当AB=BP时，根据勾股定理，可得关于a的方程，根据解方程，可得P点坐标，再根据勾股定理，可得答案．
解答 解：（1）当x=0时，y=-2，即B点坐标是（0，-2），
当y=0时，-$\frac{1}{3}$x-2-0，解得x=-6，即A点坐标是（-6，0），
x2-7x-8=0，
因式分解，得（x-8）（x+1）=0，
解得x=8或x=-1．
C点坐标为（0，8）．
设直线l2的解析式为y=kx+b，直线l2过A、C两点，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{-6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{k=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
故直线l2的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8；
（2）设P（a，b），由面积的和差，得
S△ABP=S△ABC-S△BCP，
即$\frac{1}{2}$×[8-（-2）]×|-6|-$\frac{1}{2}$[8-（-2）]|x|=20．
解得x=-2，x=2（不符合题意要舍去），
b=$\frac{4}{3}$×（-2）+8=$\frac{16}{3}$，
即P（-2，$\frac{16}{3}$）．
设过点P的反比例函数解析式为y=$\frac{{k}_{1}}{x}$，将P点坐标代入，得
k1=-2×$\frac{16}{3}$=-$\frac{32}{3}$，
故过点P的反比例函数解析式为y=-$\frac{\frac{32}{3}}{x}$；
（3）①当AP=PB时，P与C点重合，即t=0，
②当AB=AP时，AP=AB=$\sqrt{（-6）^{2}+（0+2）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，PC=AC-AP=10-2$\sqrt{10}$；
③当AB=BP时，设P（a，$\frac{4}{3}$a+8），a2+（$\frac{4}{3}$a+8+2）2=（-6）2+22，
化简，得
5a2+48a+108=0．解得a=-6.2（不符合题意要舍去）a=-3.4，
$\frac{4}{3}$a+8=$\frac{52}{15}$，即P（-$\frac{17}{5}$，$\frac{52}{15}$）．
PC=$\sqrt{（-\frac{17}{5}）^{2}+（8-\frac{52}{15}）^{2}}$=$\frac{17}{3}$，
即t=$\frac{17}{3}$．
综上所述：t=0，t=10-2$\sqrt{10}$，t=$\frac{17}{3}$以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形．
点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了函数值与自变量的对应关系，待定系数法求函数解析式，（2）利用面积的和差得出P点坐标是解题关键；（3）分类讨论是解题关键，以防遗漏．
如图，射线OA表示北偏东35°，射线OB表示南偏东70°．
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE平分∠ADB，且DE∥BC．
如图△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BF平分∠ABC，E是AF的中点，DE⊥AC交AB于D，连接DC交BF于P，∠DPB的度数是（ ）| A． | 36° | B． | 54° | C． | 72° | D． | 90° |
如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）| A． | 两条对角线互相垂直相等 | B． | 一组对边相等，一组对角相等 | ||
| C． | 一组对边平行，另一组对边相等 | D． | 一组对边平行，一组对角相等 |
| A． | $\frac{{x}^{2}}{2}$ | B． | $\frac{x}{x+1}$ | C． | $\frac{x}{2}$+y | D． | $\frac{x}{3}$+1 |