Question

7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE平分∠ADB，且DE∥BC．
（1）找出图中所有的等腰三角形，并加以证明；
（2）若∠A=90°，AE=1，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由BD平分∠ABC，得到∠1=∠2在△ABC中，由DE平分∠ADB，得到∠3=∠4，由DE∥BC得到∠3=∠5由DE∥BC得到∠2=∠4，由等量代换得到相等的边，证得△BED是等腰三角形，△BDC是等腰三角形；
（2）由DE∥BC得到∠AED=∠ABC=∠1+∠2，因为∠A=90°，∠AED+∠3=90°，∠1+∠2+∠3=90°，求得∠3=30°，根据AE=1得到ED=2EB=ED=2，求得AB=AE+EB=1+2=3，同理BC=2AB=2×3=6．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2
∵在△ABC中，DE平分∠ADB，
∴∠3=∠4，
∵DE∥BC∴∠3=∠5，
∵DE∥BC∴∠2=∠4，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，
∴△BED是等腰三角形，△BDC是等腰三角形；

（2）解：∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC=∠1+∠2，
∵∠A=90°，
∴∠AED+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
∴∠3=30°，
∵AE=1，
∴ED=2，
∴EB=ED=2，
∴AB=AE+EB=1+2=3，
同理BC=2AB=2×3=6．

点评 本题主要考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质．