Question

4．如图△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BF平分∠ABC，E是AF的中点，DE⊥AC交AB于D，连接DC交BF于P，∠DPB的度数是（　　）

• A． 36°
• B． 54°
• C． 72°
• D． 90°

Answer 1

分析 由AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角，得到∠ABC=∠ACB，根据BF平分∠ABC，得到∠ABF=FBC=36°，∠BFC=∠BCF=72°，因为AE=EF，DE⊥AF，得到AD=DF，∠DFE=36°，∠DFP=72°，证得△BDF≌△CBF，得到BD=BC，因为BF平分∠ABC，BP⊥CD，根据“三线和一”得到∠BPD=90°．

解答 解：连接DF，∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=FBC=36°，
∴∠BFC=∠BCF=72°，
∵AE=EF，DE⊥AF，
∴AD=DF，
∴∠DFE=36°，
∴∠DFP=72°，
∴∠DFB=∠CFB，
在△DBF与△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠CFB}\\{BF=BF}\\{∠DBF=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CBF（ASA），
∴BD=BC，
∵BF平分∠ABC，
∴BP⊥CD，
∴∠BPD=90°
故选D．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，关键是正确的作出辅助线．