Question

4．已知：在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=10，把一个含60°角的三角尺与这个菱形重叠，使三角尺60°角的顶点与点A重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD所在直线相交于点E、F，设BE=x，DF=y．

（1）如图1，当点E、F分别在边BC、CD上时，
①求y与x之间的函数关系式；
②三角尺在旋转过程中，四边形AECF面积是否保持不变？请说明理由；
③连接EF，三角尺在旋转过程中，△AEF的面积是否存在最小值？若存在，直接写出∠BAE的度数；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，当点E、F分别在边BC、CD的延长线上时，请你直接写出y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）①连接AC，证明△BAE≌△CAF，得到y与x之间的函数关系式；
②根据△BAE≌△CAF，得到四边形AECF面积=△ABC的面积，得到答案；
③根据△CEF的面积最大时，△AEF的面积最小，求出△CEF的面积最大时x的值即可；
（2）连接AC，证明△CAE≌△DAF即可．

解答 解：（1）①如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE，
∴y=10-x；
②∵△BAE≌△CAF，
∴四边形AECF面积=△AEC的面积+△ACF的面积=△AEC的面积+△ABE的面积=△ABC的面积，
∴四边形AECF面积保持不变；
③存在．
∵四边形AECF面积保持不变，
∴△CEF的面积最大时，△AEF的面积最小，
作FG⊥BC交BC的延长线于G，
△CEF的面积=$\frac{1}{2}$×EC×FG=$\frac{1}{2}$×（10-x）×x×sin60°=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x，
当x=5时，△CEF的面积最大，△AEF的面积最小，
∴点E为BC的中点，
∴∠BAE=30°；
（2）如图2，连接AC，
由（1）①得，△CAE≌△DAF，
∴CE=DF，
∴y=x-10．

点评 本题考查的是菱形的性质、二次函数的性质、锐角三角函数的定义，掌握菱形的四条边相等、一组对角线平分一组对角是解题的关键，注意二次函数的性质的灵活运用．