Question

11．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作第1个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第2个正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是5×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³⁰．

Answer 1

分析 先利用勾股定理求出AB=BC=AD，再用三角形相似得出A₁B=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，A₂B₂=（$\frac{3}{2}$）²$\sqrt{5}$，找出规律A₂₀₁₅B₂₀₁₅=（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵$\sqrt{5}$，即可．

解答 解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，BC=AB=AD=$\sqrt{5}$
∵正方形ABCD，正方形A₁B₁C₁C，
∴∠OAD+∠A₁AB=90°，∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠A₁AB=∠ADO，
∵∠AOD=∠A₁BA=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴$\frac{AO}{{A}_{1}B}=\frac{OD}{AB}$，
∴$\frac{1}{{A}_{1}B}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴A₁B=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴A₁B₁=A₁C=A₁B+BC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
同理可得，A₂B₂=$\frac{9}{4}$$\sqrt{5}$=（$\frac{3}{2}$）²$\sqrt{5}$，
同理可得，A₃B₃=（$\frac{3}{2}$）³$\sqrt{5}$，
同理可得，A₂₀₁₅B₂₀₁₅=（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵$\sqrt{5}$，
∴S_{第2016个正方形的面积}=S_{正方形C2015C2015B2015A2015}=[（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵$\sqrt{5}$]²=5×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³⁰，
故答案为5×（$\frac{3}{2}$）⁴⁰³⁰

点评 此题是正方形的性质题，主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是求出几个正方形的边长，找出规律．