Question

4．如图，在?ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAD，且AB=AE，连接DE并延长与AB的延长线交于点F，连接CF，若AB=1cm，则△CEF面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$cm²．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE=∠BEA，得出AB=BE=AE，所以△ABE是等边三角形，由AB的长，可求出△ABE的面积，再根据△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），可得S_△FCD=S_△ABC，又因为△AEC与△DEC同底等高，所以S_△AEC=S_△DEC，即S_△ABE=S_△CEF问题得解．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∵AB=1cm，
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$cm²，
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S_△FCD=S_△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S_△AEC=S_△DEC，
∴S_△ABE=S_△CEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$cm²．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的面积关系，解题的关键是首先证明△ABE是等边三角形，求△CEF的面积转化为求△ABE的面积．