Question

12．如图，点P的坐标为（2，$\frac{3}{2}$），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于点N；作PM⊥AN交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于点M，连接AM．已知PN=4．
（1）求k的值；
（2）求△APM的面积；
（3）求当x＞1时函数y的取值范围（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）由“AN∥x轴，点P的坐标为（2，$\frac{3}{2}$），且PN=4”可得出点A、点N的坐标，将点N的坐标代入到双曲线的解析式中得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k值；
（2）由（1）的k值可知双曲线的解析式，令x=2，可得出点M的坐标，结合A、P、M三点的坐标以及三角形的面积公式即可得出结论；
（3）令x=1，求出y的值，根据双曲线函数在x＞0时的单调性即可得出当x＞1时函数y的取值范围．

解答 解：（1）∵AN∥x轴，点P的坐标为（2，$\frac{3}{2}$），且PN=4，
∴点N的坐标为（6，$\frac{3}{2}$），点A的坐标为（0，$\frac{3}{2}$）．
将点N的坐标代入到双曲线y=$\frac{k}{x}$中得：
$\frac{3}{2}$=$\frac{k}{6}$，解得：k=9．
（2）双曲线的解析式为y=$\frac{9}{x}$（x＞0），
令x=2，则y=$\frac{9}{2}$．
∴点M的坐标为（2，$\frac{9}{2}$）．
∵点A（0，$\frac{3}{2}$），点P（2，$\frac{3}{2}$），
∴AP=2-0=2，MP=$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{2}$=3，
△APM的面积S=$\frac{1}{2}$AP•MP=$\frac{1}{2}$×2×3=3．
（3）令x=1，y=9，
由函数的单调性可知：当x＞1时，y＜9．

点评 本题考查了反比例函数系数k的意义、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）找出点N的坐标；（2）求出点A、点M的坐标；（3）根据反比例函数的单调性解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标再由待定系数法求出函数解析式是关键．