Question

5．已知关于x的一元二次方程（k-1）x²-（2k-3）x+k=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁、x₂是方程的两实数根，且x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=9，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据△≥0，解不等式即可解决问题，注意k≠1．
（2）列出方程即可解决问题，注意k的取值范围．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程（k-1）x²-（2k-3）x+k=0有实数根，
∴△≥0，
∴4k²-12k+9-4k²+4k≥O，
∴k≤$\frac{9}{8}$，
∵k≠1，
∴k的取值范围为k≤$\frac{9}{8}$且k≠1．

（2）∵x₁+x₂=$\frac{2k-3}{k-1}$，x₁x₂=$\frac{k}{k-1}$，
∴（$\frac{2k-3}{k-1}$）²-$\frac{2k}{k-1}$=9，
解得k=0或$\frac{8}{7}$，
∵的取值范围为k≤$\frac{9}{8}$且k≠1
∴k=0．

点评 本题考查根与系数关系，根的判别式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．