阅读下面的题目及分析过程.并按要求进行证明．已知:如图.E是BC的中点.点A在DE上.且∠BAE=∠CDE．求证:AB=CD．分析:证明两条线段相等.常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质.观察本题中要证明的两条线段.它们不在同一个三角形中.且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此.要证明AB=CD.必须添加适当的辅助线.构造全等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．
求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．

（1）延长DE到F，使得EF=DE
（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F
（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．

分析方法一：延长DE到F，使得EF=DE，连接BF．只要证明△DEC≌△FEB，即可解决问题．
方法二：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F．先证明△CGE≌△BFE，再证明△ABF≌△DCG即可．
方法三：过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．只要证明△ABE≌△FCE，即可解决问题．

解答解：方法一：延长DE到F，使得EF=DE，连接BF．
在△DEC和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=FE}\\{∠1=∠2}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△FEB，
∴∠D=∠F，DC=FB，
∵∠BAE=∠D，
∴∠BAE=∠F，
∴BA=BF，
∴AB=CD．

方法二：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F
∵CG⊥DE，BF⊥DE，
∴∠CGE=∠BFE=90°，
在△CGE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGE=∠BFE}\\{∠1=∠2}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CGE≌△BFE，
∴BF=CG，
在△ABF和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠CDG}\\{∠BFA=∠CGD=90°}\\{BF=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DCG，
∴AB=CD．

方法三：过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．
∵CF∥AB，
∴∠BAE=∠F，∠B=∠FCE，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠F}\\{∠B=∠FCE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB=FC，
∵∠BAE=∠D，∠BAE=∠F，
∴∠D=∠F，
∴CF=CD，
∴AB=CD．