Question

13．已知，如图抛物线y=ax²+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，-3），把点B，C的坐标代入y=ax²+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；
（2）过点D作DE∥y轴分别交线段AC于点E．设D（m，m²+2m-3），然后求出DE的表达式，把S_{四边形ABCD}分解为S_△ABC+S_△ACD，转化为二次函数求最值；
（3）①过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形．②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P₂，P₃，由题意可知点P₂、P₃的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．

解答 解：（1）∵B的坐标为（1，0），
∴OB=1．
∵OC=3OB=3，点C在x轴下方，
∴C（0，-3）．
∵将B（1，0），C（0，-3）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{3}{4}$，C=-3，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3．
（2）如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．

∵x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{-\frac{9}{4}}{2×\frac{3}{4}}$=-$\frac{3}{2}$，B（1，0），
∴A（-4，0）．
∴AB=5．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×5×3=7.5．
设AC的解析式为y=kx+b．
∵将A（-4，0）、C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=-3，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-3．
设D（a，$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{4}$a-3），则E（a，-$\frac{3}{4}$a-3）．
∵DE=-$\frac{3}{4}$a-3-（$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{4}$a-3）=-$\frac{3}{4}$（a+2）²+3，
∴当a=-2时，DE有最大值，最大值为3．
∴△ADC的最大面积=$\frac{1}{2}$DE•AO=$\frac{1}{2}$×3×4=6．
∴四边形ABCD的面积的最大值为13.5．
（3）存在．
①如图2，过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形．

∵C（0，-3），令$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3=-3，
∴x₁=0，x₂=-3．
∴P₁（-3，-3）．
②平移直线AC交x轴于点E₂，E₃，交x轴上方的抛物线于点P₂，P₃，当AC=P₂E₂时，四边形ACE₂P₂为平行四边形，当AC=P₃E₃时，四边形ACE₃P₃为平行四边形．
∵C（0，-3），
∴P₂，P₃的纵坐标均为3．
令y=3得：$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x-3=3，解得；x₁=$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$．
∴P₂（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，3），P₃（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，3）．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P₁（-3，-3），P₂（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，3），P₃（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）时要注意进行分类讨论．