Question

7．如图，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上且OA=OB．
（1）求A点的坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数y=x大于反比例函数y=$\frac{2}{x}$时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立一次函数与反比例函数的解析式，求出x的值即可得出A点坐标；
（2）求出OA的长，根据OA=OB即可得出OB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）根据反比例函数的对称性得出直线与抛物线另一个交点的坐标，利用函数图象可直接得出结论．

解答 解：（1）∵点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象在第一象限内的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ y=\frac{2}{x}\end{array}\right.$，解得x=±$\sqrt{2}$，
∵点A在第一象限，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；

（2）∵OA=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2，OA=OB，
∴OA=OB=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$；

（3）∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴C（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
由函数图象可知，当x＞$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$＜x＜0时，一次函数y=x大于反比例函数y=$\frac{2}{x}$．

点评 本题考查的是正比例函数与反比例函数图象的交点问题，熟知反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称是解答此题的关键．