Question

18．（1）三角形三边长a、b、c都是整数，且a＜b＜c，若b=7，则有15个满足题意的三角形；
（2）三角形三边长a、b、c都是整数，且a≤b＜c，若b=7，则有21个满足题意的三角形；
（3）三角形三边长a、b、c都是整数，且a≤b≤c，若b=7，则有28个满足题意的三角形．

Answer 1

分析 （1）根据题意，a可取的值为1、2、3、…6，由三角形的三边关系，有7＜c＜7+a，对a分情况讨论，分析可得c可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数，计算可得答案．
（2）根据题意，a可取的值为1、2、3、…7，由三角形的三边关系，有7＜c＜7+a，对a分情况讨论，分析可得c可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数，计算可得答案．
（3）根据题意，a可取的值为1、2、3、…7，由三角形的三边关系，有7≤c＜7+a，对a分情况讨论，分析可得c可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数，计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，a可取的值为1、2、3、…6，
根据三角形的三边关系，有7＜c＜7+a，
当a=1时，有7＜c＜8，则c值不存在，
当a=2时，有7＜c＜9，则c=8，有1种情况，
当a=3时，有7＜c＜10，则c=8、9，有2种情况，
当a=4时，有7＜c＜11，则c=8、9、10，有3种情况，
…
当a=6时，有7＜c＜13，则c=8、9、10…12，有5种情况，
则符合条件的三角形共有1+2+3+4+…+5=15；
故答案为：15．
（2）根据题意，a可取的值为1、2、3、…7，
根据三角形的三边关系，有7＜c＜7+a，
当a=1时，有7＜c＜8，则c值不存在，
当a=2时，有7＜c＜9，则c=8，有1种情况，
当a=3时，有7＜c＜10，则c=8、9，有2种情况，
当a=4时，有7＜c＜11，则c=8、9、10，有3种情况，
…
当a=7时，有有7＜c＜14，则c=8、9、10…13，有6种情况，
则符合条件的三角形共有1+2+3+4+…+6=21，故答案为：21．
（3）根据题意，a可取的值为1、2、3、…7，
根据三角形的三边关系，有7≤c＜7+a，
当a=1时，有7≤c＜8，则c=7，有1种情况，
当a=2时，有7≤c＜9，则c=7、8，有2种情况，
当a=3时，有7≤c＜10，则c=7、8、9，有3种情况，
当a=4时，有7≤c＜11，则c=7、8、9、10，有4种情况，
…
当a=7时，有有7≤c＜14，则c=7、8、9、10…13，有7种情况，
则符合条件的三角形共有1+2+3+4+…+7=28；
故答案为：28．

点评 本题考查合情推理与分类计数原理的运用、三角形三边的关系；关键是发现a变化时，符合条件的三角形个数的变化规律．