Question

3．人民公园划出一块矩形区域，用以栽植鲜花．
（1）经测量，该矩形区域的周长是72m，面积为320m²，请求出该区域的长与宽；
（2）公园管理处曾设想使矩形的周长和面积分别为（1）中区域的周长和面积的一半，你认为此设想合理吗？如果此设想合理，请求出其长和宽；如果不合理，请说明理由，并求出在（1）中周长减半的条件下矩形面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设矩形的一边长为x，则另一边的长为36-x米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可；
（2）设矩形的一边长为y，根据题意得矩形的另一边的长为（18-y）米，利用矩形的面积计算方法列出方程后用根的判别式进行判断即可．

解答 解：（1）设矩形的一边长为x，则另一边的长为36-x米，根据题意得：
x（36-x）=320，
解得：x=20或x=16，
答：矩形的长和宽分别为20米和16米；

（2）设矩形的一边长为y，根据题意得矩形的另一边的长为（18-y）米，
根据题意得：y（18-y）=160，
整理得：y²-18y+160=0，
∵△=b²-4ac=（-18）²-4×160=-316＜0，
∴此设想不合理．
设周长减少一半后的一边的长为y，则另一边的长为18-y米，
面积S=y（18-y）=-y²+18y=-（y-9）²+81，
所以面积的最大值为81平方米．

点评 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意表示出矩形的长和宽，从而根据矩形的面积的计算方法列出方程求解．