Question

15．如图，TQ切⊙O于点A，∠BAQ=60°，连接BO并延长与⊙O交于点C，与OA的延长线交于点T，若TC=2，求TA的长．

Answer 1

分析 连接AC，根据TQ切⊙O于点A，得出，∠BAQ=∠ACB=60°，根据圆周角定理得出∠BAC=90°，根据正切函数得出$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，然后证得△ATC∽△BTA，得出$\frac{AT}{TC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，即可求得TA的长．

解答 解：连接AC，
∵TQ切⊙O于点A，∠BAQ=60°，
∴∠ACB=60°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∵∠TAC=∠B，∠ATC=∠BTA，
∴△ATC∽△BTA，
∴$\frac{AT}{TC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴AT=$\sqrt{3}$TC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，解直角三角形以及三角形相似的判定和性质，找出辅助线构建直角三角形是解题的关键．