Question

2．数学问题：
如图，在数轴上点A表示的数为-20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位长度的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动．
（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为-20+5t，4t，40-8t．
（2）当QN=10个单位长度时，求此时点P在数轴上所表示的数．
（3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面实际问题：
码头C位于A、B两码头之间，且知AC=20海里，AB=60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中航速为5海里/小时，乙船在静水中航速为4海里/小时，丙船在静水中航速为8海里/小时，水流速度为2海里/小时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．
在整个运动过程中，是否存某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由．
提示：如果你不用上面数学问题中的解题方法也能完成本题，可得满分．

Answer 1

分析 （1）根据路程=速度×时间即可求解；
（2）Q、N相遇的时间为$\frac{10}{3}$秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒．N到O前，P所表示的数为-20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40-8t．分三种情况：①Q、N相遇前；②Q、N相遇后，N到O前；③Q、N相遇后，N到O后．分别根据QN=10列出方程；
（3）建立如图所示的数轴A所表示的数为-20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．分四种情况：①乙丙相遇前；②甲丙相遇前；③甲丙相遇后，丙到C前；④甲丙相遇后，丙到C后．根据这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等列出方程．

解答 解：（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为-20+5t，4t，40-8t．
故答案为-20+5t，4t，40-8t；

（2）Q、N相遇的时间为$\frac{10}{3}$秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒．
N到O前，P所表示的数为-20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40-8t．
①Q、N相遇前：40-8t-4t=10，解得t=2.5，

 所以P所表示的数为-20+5×2.5=-7.5；
②Q、N相遇后，N到O前，4t-（40-8t）=10，解得t=$\frac{25}{6}$，

所以P所表示的数为-20+5×$\frac{25}{6}$=$\frac{5}{6}$；
③Q、N相遇后，N到O后：
P所表示的数为-20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为8（t-5），
4t-8（t-5）=10，解得t=7.5，

所以P所表示的数为-20+5×7.5=17.5；

（3）建立如图所示的数轴A所表示的数为-20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．
甲到C的时间为$\frac{20}{7}$秒，甲到B的时间为$\frac{60}{7}$秒，乙到B的时间为$\frac{20}{3}$秒，
丙到C的时间为$\frac{20}{3}$秒，丙到B的时间为$\frac{32}{3}$秒，甲遇丙的时间为$\frac{60}{13}$秒，乙遇丙的时间为$\frac{10}{3}$秒，甲追乙的时间为20（舍），丙追甲的时间为（舍）．丙到C前，甲所表示的数为-20+7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为40-6t
①乙丙相遇前：6t-（-20+7t）=40-6t-6t，解得t=$\frac{20}{11}$，
所以甲船离B码头的距离为40-（-20+7×$\frac{20}{11}$）=$\frac{520}{11}$（海里）；
②甲丙相遇前：40-6t-（-20+7t）=6t-（40-6t），解得t=4，
所以甲船离B码头的距离为40-（-20+7×4）=32（海里）；
③甲丙相遇后，丙到C前：6t-（-20+7t）=-20+7t-（40-6t），解得t=$\frac{40}{7}$，
所以甲船离B码头的距离为40-（-20+7×$\frac{40}{7}$）=20（海里）；
④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的数为-20+7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为10（t-$\frac{20}{3}$）．
6t-（-20+7t）=-20+7t-10（t-$\frac{20}{3}$），解得t=$\frac{40}{3}$＞$\frac{20}{3}$（舍）．
综上所述，在整个运动过程中，分别在$\frac{20}{11}$小时、4小时、$\frac{40}{7}$小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为$\frac{520}{11}$海里，32海里，20海里．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离．正确进行分类讨论是解题的关键也是本题的难点．