Question

11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）若∠BAC=θ，求∠DBC；
（2）求证：BD=DE．

Answer 1

分析 （1）根据内心的性质得到AD是∠BAC的平分线，根据圆周角定理解答即可；
（2）根据内心的性质、三角形的外角的性质证明．

解答 （1）解：∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$θ，
由圆周角定理得，∠DBC=∠CAD=$\frac{1}{2}$θ；

（2）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，又∠DBC=∠BAD，
∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠DBC，
即∠DBE=∠DEB，
∴BD=DE．

点评 本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心的概念和性质，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键．