Question

18．如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F，
（1）求证：∠BCP=∠BAP；
（2）若AB=3，DP：PB=1：3，且PA⊥BF，求PA和BD的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定方法得出：∠BCP=∠BAP；
（2）直接利用已知得出△CDP∽△FBP，可得BF的长，再利用勾股定理得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CBD=∠ABD，BC=AB，
在△CBD和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠CBD=∠ABD}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ABD（SAS），
∴∠BCP=∠BAP；

（2）解：∵AB=3，
∴CD=3，
∵DC∥AB，
∴△CDP∽△FBP，
∴$\frac{DC}{BF}$=$\frac{DP}{BP}$=$\frac{CP}{PF}$=$\frac{1}{3}$，
∴BF=3CD=9，
∴AF=6，
∵PA⊥BF，
∴BC⊥CF，
∴Rt△BCF中，
CF=$\sqrt{B{F}^{2}-B{C}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴PF=$\frac{3}{4}$CF=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∴Rt△PAF中，PA=$\sqrt{P{F}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×3=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴Rt△ABP中，BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×3=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴BD=$\frac{4}{3}$BP=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×3=2$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确应用菱形的性质是解题关键．