Question

6．如图，点P是双曲线y=$\frac{6}{x}$右支上一动点．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，D是PB的中点
（1）求过点D的双曲线的表达式；
（2）若过点D的双曲线与PA交于点C，请求出△PDC的面积．

Answer 1

分析 （1）设过点D的双曲线解析式为：y=$\frac{k}{x}$，点D的坐标为（a，$\frac{k}{a}$），由D是PB的中点可得点P的坐标为（2a，$\frac{k}{a}$），代入y=$\frac{6}{x}$得k的值；
（2）过点D作DE⊥OA于点E，由（1）知点D坐标为（a，$\frac{3}{a}$）、点D（2a，$\frac{3}{a}$）、点C（2a，$\frac{3}{2a}$），继而分别表示出AC、DE、AE的长，根据S_△PDC=S_矩形OAPB-S_矩形OEDB-S_梯形ACDE可得答案．

解答 解：（1）设过点D的双曲线解析式为：y=$\frac{k}{x}$，点D的坐标为（a，$\frac{k}{a}$），
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，D是PB的中点，
∴点P的坐标为（2a，$\frac{k}{a}$），
将点P坐标代入y=$\frac{6}{x}$得：$\frac{k}{a}=\frac{6}{2a}$，
解得：k=3，
故过点D的双曲线的表达式为y=$\frac{3}{x}$；

（2）过点D作DE⊥OA于点E，

由（1）可知点D坐标为（a，$\frac{3}{a}$）、点D（2a，$\frac{3}{a}$）、点C（2a，$\frac{3}{2a}$），
∴AC=$\frac{3}{2a}$，DE=$\frac{3}{a}$，AE=a，
∴S_△PDC=S_矩形OAPB-S_矩形OEDB-S_梯形ACDE
=6-3-$\frac{1}{2}$×a×（$\frac{3}{2a}$+$\frac{3}{a}$）
=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数性质的综合运用，涉及点的坐标转化，三角形、四边形面积的计算，充分运用双曲线上点的横坐标与纵坐标的积等于反比例系数k．