Question

3．已知：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且AD=DC．
（1）求证：AB=BC；
（2）过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F，且CF=DC，求sin∠CAE的值．

Answer 1

分析 （1）由AB为直径，根据圆周角的性质，可得BD⊥AC，又由AD=DC，根据线段垂直平分线的性质，即可证得AB=BC；
（2）由BF切⊙O于点B，易证得△ABD∽△BFD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BD的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AD=DC，
∴AB=BC；

（2）解：∵BF切⊙O于点B，
∴∠ABF=90°，
∴∠BAF+∠F=90°．
又∵∠BAF+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠F，
∴△ABD∽△BFD，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DF}$，
∴BD²=AD•DF．
又∵CF=DC，
∴CF=DC=AD，
设CF=DC=AD=k，
则BD²=AD•DF=k•2k=2k²，
∴$BD=\sqrt{2}k$．
在Rt△BCD中，$BC=\sqrt{3}k$，$sin∠CBD=\frac{k}{{\sqrt{3}k}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
又∵∠CBD=∠CAE，
∴$sin∠CAE=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 此题考查了切线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△ABD∽△BFD是关键．