Question

12．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x米，矩形区域ABCD的面积为y米²．
（1）求证：AE=2BE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE；
（2）设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．

解答 解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
又∵EF是公共边，
∴AE=2BE；

（2）设BE=a，则AE=2a，
∴8a+2x=80，
∴a=$\frac{80-2x}{8}$，AB=3a，
∴y=3ax=3•$\frac{80-2x}{8}$•x=-$\frac{3}{4}$x²+30x，
∵a=-x+40＞0，
∴x＜40，
∴0＜x＜40

（3）∵y=-$\frac{3}{4}$x²+30x=-$\frac{3}{4}$（x-20）²+300（0＜x＜40），且二次项系数为-$\frac{3}{4}$＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．

点评 此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．