Question

20．如图，△ABC为等边三角形，D，E两点分别在AB，AC边上，DB=AE，BE，CD相交于点F，BH⊥CD于点H，若EF=1，CD=9，求HF的长．

Answer 1

分析 只要证明△ABE≌△CBD，推出∠ABE=∠BCD，BE=CD=9，由EF=1，推出BF=BE-EF=8，在Rt△FBH中 只要证明∠FBH=30°，即可解决问题．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
在△ABE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠DBC}\\{AE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD，
∴∠ABE=∠BCD，BE=CD=9，
∵EF=1，
∴BF=BE-EF=8，
∵∠BFH=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°，
∵BH⊥CD，
∴∠BHF=90°，∠FBH=30°，
∴HF=$\frac{1}{2}$BF=4．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，本题的突破点是证明∠FBH=30°，属于中考常考题型．