题目内容
7．
如图，A，B是直线l上的两点，AB=4厘米，过l外一点C作CD∥l，射线BC与l所组成的锐角为60°，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以1厘米/秒的速度，沿由B向C的方向运动；Q以2厘米/秒的速度，沿由C向D的方向运动，设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于点E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；
（2）求△APQ的面积s与t的函数表达式；
（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少？
分析 （1）根据题意得出BP=t，CQ=2t，PC=t-2，再根据EC∥AB，得出$\frac{EC}{AB}$=$\frac{PC}{PB}$，最后得出EC的值，即可表示出CE和QE的长；
（2）以QE为底边，过P引l的垂线作高，根据P的速度可以用t表示出BP，也就能用BP和∠1的正弦函数求出高，那么关键是求QE的长，我们可以根据Q的速度用时间t表示出CQ，那么只要求出CE即可．用相似三角形的对应线段成比例来求CE的长，根据三角形PEC和三角形PAB相似，可得出关于CE、AB、PC、BC的比例式，由BP、BC、AB的值，可以用含t的式子表示出CE，也就表示出了QE，那么可根据三角形的面积公式，得出关于S与t的函数关系式；
（3）如果QE恰好平分三角形APQ的面积，那么此时P到CD和CD到l之间的距离就相等，那么C就是PB的中点，可根据BP=2BC求出t的值，然后根据（1）中得出的表示QE的式子，将t代入即可得出QE的值即可．
解答 解：（1）由题意知：BP=t，CQ=2t，PC=t-2．
∵EC∥AB，
∴$\frac{EC}{AB}$=$\frac{PC}{PB}$，
∴EC=$\frac{PC•AB}{PB}$=$\frac{4（t-2）}{t}$，
∴QE=QC-EC=2t-$\frac{4（t-2）}{t}$=$\frac{2（{t}^{2}-2t+4）}{t}$；
（2）如图，作PF⊥L于F，交DC延长线于M，AN⊥CD于N．
在△PBF中，PF=PB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S△APQ=S△AQE+S△PQE
=$\frac{1}{2}$QE•AN+$\frac{1}{2}$QE•PM=$\frac{1}{2}$QE•PF
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2（{t}^{2}-2t+4）}{t}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t2-2t+4）；
（3）此时，E为PA的中点，所以C也是PB的中点，
则t-2=2，
∴t=4，
∴QE=$\frac{2（{t}^{2}-2t+4）}{t}$=$\frac{2（{4}^{2}-2×4+4）}{4}$=6（厘米）．
点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的应用等知识点，根据相似三角形的性质得出表示CE的式子是解题的关键所在．
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