Question

2．已知：直线l：y=2x+2b与过点D（0，-2）平行于x轴的直线DE交于B点，与x轴交于点A．
（1）求A、B两点的坐标；（用含b的代数式表示）；
（2）当△ABD是以AD为底边的等腰三角形时，求b的值；
（3）设直线y=2x+2b与y轴交于点C，当△CAO的面积是△CBD的面积的4倍时，求b的值．

Answer 1

分析 （1）在y=2x+2b中分别令y=0和y=-2可分别求得相应的x的值，则可求得A、B两点的坐标；
（2）由A、B、D的坐标可用b表示出AB和BD的长，由条件可得AB=BD，可得到关于b的方程，可求得b的值；
（3）由条件可证明△CBD∽△CAO，利用相似三角形的性质可求得CD和CO的关系，分点C在点D下方和上方两种情况可分别求得OC的长，则可求得b的值．

解答 解：
（1）当y=0时，2x+2b=0，x=-b，
当y=-2时，2x+2b=-2，x=-b-1，
∴A（-b，0），B（-b-1，-2）；
（2）∵A（-b，0），B（-b-1，-2），D（0，-2）；
∴AB=$\sqrt{（-b-1+b）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，BD=|-b-1|，
∵△ABD是以AD为底边的等腰三角形，
∴AB=BD，即|-b-1|=$\sqrt{5}$，
解得${b_1}=\sqrt{5}-1$，${b_2}=-\sqrt{5}-1$；
（3）∵DE∥x轴，
∴△CBD∽△CAO，
∴$\frac{S△CDB}{S△CAO}={（{\frac{CD}{CO}}）^2}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{CD}{CO}=\frac{1}{2}$，
①如图1，当点C在点D下方时，

∴CO=2OD=4，
∴C（0，-4），
∴b=-2；
②如图2，当点C在点D上方时，

∴$CO=\frac{2}{3}OD=\frac{4}{3}$，
∴$C（{0，-\frac{4}{3}}）$，
∴$b=-\frac{2}{3}$；
综上可知b的值为-2或-$\frac{2}{3}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意函数图象的交点坐标的求法，在（2）中用b分别表示出AB和BD的长是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质求得CD和CO的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．