Question

把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在点E处，连接AE，得到梯形ABDE，AB=12cm，BC=16cm，求梯形ABDE的面积．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：根据矩形的性质得AD=BC=16cm，AB=DC=12cm，AD∥BC，根据勾股定理可计算出BD=20cm，再根据折叠的性质得∠1=∠2，BE=BC=16cm，ED=DC=12cm，则∠1=∠3，所以BF=DF，又AD=BE，则AF=EF，所以∠4=∠5，于是∠1=∠5=∠4=∠3，得到BD∥AE，而AB=DE=12cm，且AB与DE不平行，所以可判断四边形ABDE是等腰梯形，过点A、E分别作AM⊥BD于点M、EN⊥BD于点N，则四边形AMNE为矩形，根据等腰图形的性质易得BM=DN，AE=MN，在Rt△ABD中，利用面积法克计算出AM=

12×16

20

=

48

5

，在Rt△ABM中，利用勾股定理计算出BM=

14

5

，则AE=MN=

72

5

，然后根据梯形的面积公式求解．

解答：解：设BE与AD交于点F．
∵四边形ABCD为矩形，AB=12cm，BC=16cm，
∴AD=BC=16cm，AB=DC=12cm，AD∥BC，
∴BD=

162+122

=20cm，∠2=∠3，
∵把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，
∴∠1=∠2，BE=BC=16cm，ED=DC=12cm，
∴∠1=∠3，
∴BF=DF，
∵BE=AD，
∴EF=AF，
∴∠4=∠5，
∴∠1=∠5=∠4=∠3，
∴AE∥BD，
∵AB=DE=12cm，且AB与DE不平行，
∴四边形ABDE是等腰梯形．
过点A、E分别作AM⊥BD于点M、EN⊥BD于点N，则四边形AMNE为矩形，
∴BM=DN，AE=MN，
在Rt△ABD中，

1

2

AM•BD=

1

2

AD•AB，则AM=

12×16

20

=

48

5

，
在Rt△ABM中，BM=

AB2-AM2

=

14

5

，
∴DN=

14

5

，
∴AE=MN=20-

14

5

-

14

5

=

72

5

，
∴梯形ABDE的面积=

1

2

（AE+BD）•AM=

1

2

（

72

5

+20）×

48

5

=

4128

25

（cm²）．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；也考查了勾股定理、矩形的性质以及等腰梯形的判定与性质．