我们知道.三角形的内心是三条角平分线的交点.过三角形内心的一条直线与两边相交.两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似.则把这条线段叫做这个三角形的“內似线．(1)等边三角形“內似线的条数为3,(2)如图.△ABC中.AB=AC.点D在AC上.且BD=BC=AD.求证:BD是△ABC的“內似线 ,(3)在Rt△ABC中.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
（1）等边三角形“內似线”的条数为3；
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．

分析（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，证出△BCD∽△ABC，再由三角形的外角性质证出BD平分∠ABC即可；
（3）分两种情况：①当$\frac{CE}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$时，EF∥AB，由勾股定理求出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，作DN⊥BC于N，则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，求出DN=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）=1，由几何平分线定理得出$\frac{DE}{DF}=\frac{CE}{CF}$=$\frac{4}{3}$，求出CE=$\frac{7}{3}$，证明△CEF∽△CAB，得出对应边成比例求出EF=$\frac{35}{12}$；
②当$\frac{CF}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$时，同理得：EF=$\frac{35}{12}$即可．

解答（1）解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；
故答案为：3；
（2）证明：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，
∴△BCD∽△ABC，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
即BD过△ABC的内心，
∴BD是△ABC的“內似线”；
（3）解：设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当$\frac{CE}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$时，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
作DN⊥BC于N，如图2所示：
则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）=1，
∵CD平分∠ACB，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{CE}{CF}$=$\frac{4}{3}$，
∵DN∥AC，
∴$\frac{DN}{CE}=\frac{DF}{EF}$=$\frac{3}{7}$，即$\frac{1}{CE}=\frac{3}{7}$，
∴CE=$\frac{7}{3}$，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}$，即$\frac{EF}{5}=\frac{\frac{7}{3}}{4}$，
解得：EF=$\frac{35}{12}$；
②当$\frac{CF}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$时，同理得：EF=$\frac{35}{12}$；
综上所述，EF的长为$\frac{35}{12}$．