Question

17．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DME=90°，AD=AE．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为垂直，数量关系为相等
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．

解答 解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．
理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又 BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．
故答案为：垂直，相等；

②都成立．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△DAB与△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴CE=BD，∠B=∠ACE，
∴∠ACB+∠ACE=90°，即CE⊥BD；

（2）当∠ACB=45°时，CE⊥BD（如图2）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，
则∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°-∠ACB，
∴∠AGC=90°-45°=45°，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG，…（8分）
在△GAD与△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AG}\\{∠DAG=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△GAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠AGC=45°，
∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，即CE⊥BC．

点评 此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．