Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF交于G、H．
（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的对角相等，以及垂直的定义可得△ABE和△ADF的两角对应相等，则两个三角形相似；
（2）证明△ABG≌△ADH，则AB=AD，从而证得四边形是菱形．

解答 解：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE∽△ADF；
（2）∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH，
∴AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
∴∠AGB=∠AHD，
∴△ABG≌△ADH，
∴AB=AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，通过三角形全等证明AB=AD是本题的关键．