题目内容
12．已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE，求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由；
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
分析 （1）根据垂直平分线性质得：AE=EC，AF=FC，再证明△AOE≌△COF，得AE=FC，则四边形AFCE的四边相等，则四边形AFCE为菱形；利用勾股定理列方程求AF的长；
（2）①当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是矩形，先求点P的运动时间，即为点Q的运动时间，再求点Q运动的速度；
②分三种情况讨论：以点P分别在AF、BF、AB上分析讨论，发现只有点P在BF上时，点Q在DE上时A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是平行四边形，如图3，以AQ=PC为等量关系列方程解出．
解答 解：（1）如图1，∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，AF=FC，
∵AO=OC，∠EAC=∠BCA，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴AE=CF=EC=AF，
∴四边形AFCE为菱形，
设AF=x，则FC=x，BF=8-x，
在Rt△ABF中，x2=42+（8-x）2，
x=5，
则AF=5；
（2）①在在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，
只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是矩形，
P点运动的时间是：（5+3）÷1=8
Q的速度是：4÷8=0.5
即当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是矩形时，运用的时间为8s，此时Q的速度是0.5cm/s；
②分为三种情况：i）P在AF上，0≤t≤5，
∵点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，
∴Q只能在CD上，此时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形不可能是平行四边形；
ii）当P在BF上时，5＜t≤8，Q在DE上，A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是平行四边形；
如图3
，
∵AQ=8-（0.8t-4），CP=PF+FC=PF+AF=t，
∴8-（0.8t-4）=t，
t=$\frac{20}{3}$；
iii）当P在AB上时，8＜t≤12，Q在DE或CE上，此时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形，
综上所述：当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=$\frac{20}{3}$．
点评 本题是运动型综合题，考查了动点问题的平行四边形、菱形的性质、行程问题等知识点；解题关键是深刻理解动点P和Q的行程问题，弄清两个动点的时间、速度和路程；理解动点的完整运动过程；采用了分类讨论的思想．
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小学生10分钟应用题系列答案
如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF交于G、H．
如图是一个转盘，转盘被平均分成4等份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标有数字1、2、3、4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等（若指针恰好落在分界线上则重转）．| A． | x=2 | B． | x=-2 | C． | x=-$\frac{2}{3}$ | D． | x=$\frac{2}{3}$ |