Question

14．如图1，正方形ABCD顶点A、B在函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）若点A的横坐标为3，求点D的纵坐标；
（2）如图2，当k=8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标；
（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥y轴于点E，如图1，则∠AED=90°．利用正方形的性质得AD=DC，∠ADC=90°，再根据等角的余角相等得到∠EDA=∠OCD，则利用“AAS”可判断△AED≌△DOC，从而得到OD=EA=3，于是确定点D的纵坐标为3；
（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，如图2，设OD′=a，OC′=b，同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，利用全等的性质得C′N=OD′=A′M=a，B′N=C′O=D′M=b，则A′（a，a+b），B′（a+b，b），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a（a+b）=8，b（a+b）=8，解方程组求出a、b，从而得到A′、B′两点的坐标；
（3）先利用待定系数法求出直线A′B′解析式为y=-x+6，直线C′D′解析式为y=-x+2，设点A的坐标为（m，2m），则点D坐标为（0，m），若当A点在直线C′D′上时，则2m=-m+2，解得m=$\frac{2}{3}$，可确定此时点A的坐标，从而得到此时k的值；当点D在直线A′B′上时，则m=6，同样可确定此时点A的坐标和k的值，所以可确定当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时k的取值范围．

解答 解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，如图1，则∠AED=90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ODC+∠EDA=90°．
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠EDA=∠OCD，
在△AED和△DOC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DOC}\\{∠EDA=∠OCD}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DOC（AAS），
∴OD=EA=3，
∴点D的纵坐标为3；
（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，如图2，设OD′=a，OC′=b，
同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，
∴C′N=OD′=A′M=a，B′N=C′O=D′M=b，
∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），
∵点A′、B′在反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象上，
∴a（a+b）=8，b（a+b）=8，解得a=b=2或a=b=-2（舍去）．
∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；
（3）设直线A′B′的解析式为y=mx+n，
把A′（2，4），B′（4，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=4}\\{4m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线A′B′解析式为y=-x+6，
同样可求得直线C′D′解析式为y=-x+2，
由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m）．
当A点在直线C′D′上时，则2m=-m+2，解得m=$\frac{2}{3}$，此时点A的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），k=$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{9}$；
当点D在直线A′B′上时，有m=6，此时点A的坐标为（6，12），k=6×12=72；
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为$\frac{8}{9}$≤x≤72．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；灵活运用全等三角形的性质解决线段相等的问题；会运用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质．