Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，根据等腰三角形的判定定理得到∠CAD=∠ADE．根据余角的性质得到∠BAD=∠BDF，等量代换即可得到结论．

解答 证明：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴DE=AE=EC，
∴∠CAD=∠ADE．
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°．
∵DF⊥AB，
∴∠B+∠BDF=90°，
∴∠BAD=∠BDF，
∴∠BDF=∠CAD，
∴∠BDF=∠ADE．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．