Question

14．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：△BDE∽∠ADB；
（2）试判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，条件不变，若BC恰好是⊙O的直径，且AB=6，AC=8，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）由AD平分∠BAC，易得∠BAD=∠CAD=∠CBD，又由∠BDE是公共角，即可证得：△BDE∽∠ADB；
（2）首先连接OD，由AD平分∠BAC，可得$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，由垂径定理，即可判定OD⊥BC，又由BC∥DF，证得结论；
（3）首先过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，易证得△BDH∽△BCA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BH的长，继而求得AD的长，然后证得△FDB∽△FAD，又由相似的性质，求得答案．

解答 （1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽∠ADB；

（2）相切．
理由：如图1，连接OD，
∵∠BAD=∠DAC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；

（3）如图2，过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，
则∠BHD=90°，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BHD=∠BAC，
∵∠BDH=∠C，
∴△BDH∽△BCA，
∴$\frac{BH}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∴OB=OD=5，
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}+O{D}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BH}{6}$=$\frac{5\sqrt{2}}{10}$，
∴BH=3$\sqrt{2}$，
∴DH=$\sqrt{B{D}^{2}-B{H}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴AD=AH+DH=7$\sqrt{2}$，
∵DF与⊙O相切，
∴∠FDB=∠FAD，
∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FAD，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BF}{DF}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{5\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}$，
∴AF=$\frac{7}{5}$DF，BF=$\frac{5}{7}$DF，
∴AB=AF-BF=$\frac{7}{5}$DF-$\frac{5}{7}$DF=6，
解得：DF=$\frac{35}{4}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、弦切角定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．