Question

18．已知，如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A、B、D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接AD，再利用等腰三角形的性质得出∠ADB的度数，再利用圆周角定理得出答案；
（2）利用三角形中位线定义得出DO是△BAC的中位线，进而得出DO∥AC，进而得出∠ODE=90°，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的判定与性质得出△ABC是等边三角形，进而利用三角形面积求出答案．

解答 （1）证明：如图1，连接AD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB是⊙O的直径；

（2）证明：如图2，连接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴DO是△BAC的中位线，
∴DO∥AC，
∴DO⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；

（3）解：如图3，∵AO=3，
∴AB=6，
又∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD=3$\sqrt{3}$，
∵AC×DE=CD×AD，
∴6×DE=3×3$\sqrt{3}$，
解得：DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质以及圆周角定理和三角形面积求法等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．