Question

10．如图，在△ABC中，AE是它的角平分线，∠C=90°，∠B=30°，D在AB边上，AD=4，以AD为直径的圆O经过点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出∠CAE=∠OEA，进而得出∠OEB=90°，即可得出答案；
（2）首先求出EO，BE的长，进而利用阴影部分的面积=S_△EOB-S_扇形EOD，进而得出答案．

解答 （1）证明：连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∵AO=EO，
∴∠OAE=∠AEO，
∴∠CAE=∠OEA，
∴AC∥EO，
∵∠C=90°，
∴∠OEB=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠B=30°，∠OEB=90°，
∴EO=$\frac{1}{2}$BO，∠EOB=60°，
∵AD=4，
∴EO=2，DO=2，
∴BO=4，
∴BE=2$\sqrt{3}$，
图中阴影部分的面积为：$\frac{1}{2}$×EO×BE-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法，正确得出BE的长是解题关键．