Question

8．关于x的一元二次方程x²-（m-3）x-1=0，
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|-2．求m的值及方程的根．

Answer 1

分析 （1）只要证明△＞0即可．
（2）把条件|x₁|=|x₂|-2转化为x₁+x₂与x₁x₂的形式即可．

解答 （1）证明：∵△=（m-3）²+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵|x₁|=|x₂|-2
∴|x₁|-|x₂|=-2
∴x₁²-2|x₁x₂|+x₂²=4
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6
∵x₁+x₂=m-3，x₁x₂=-1，
∴（m-3）²=4，
∴m-3=±2，
m=5或1
当m=5时，方程为：x²-2x-1=0，解得x=1$±\sqrt{2}$，
当m=1时，方程为：x²+2x-1=0，解得x=-1$±\sqrt{2}$

点评 本题考查根与系数的关系、根的判别式等知识，把|x₁|=|x₂|-2转化为x₁+x₂与x₁x₂的形式是一个难点，灵活运用公式是解决问题的关键．